积分公式常用公式，微积分基本公式大全积分公式是高等数学和工程计算中不可或缺的工具，掌握常用积分公式能大幅提升解题效率。我们这篇文章将系统归纳微积分中的核心积分公式，并深入解析其应用场景和数学原理，内容涵盖：基本不定积分公式；定积分性质与计

积分公式常用公式，微积分基本公式大全

积分公式是高等数学和工程计算中不可或缺的工具，掌握常用积分公式能大幅提升解题效率。我们这篇文章将系统归纳微积分中的核心积分公式，并深入解析其应用场景和数学原理，内容涵盖：基本不定积分公式；定积分性质与计算公式；换元积分法公式；分部积分法公式；三角函数积分公式；反三角函数积分公式；指数对数函数积分公式；常见积分技巧总结。建议结合具体例题理解公式的实际应用。

一、基本不定积分公式

1. 幂函数积分：
∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n≠-1)
特别地，∫1/x dx = ln|x| + C

2. 常数积分：
∫k dx = kx + C（k为常数）

3. 自然指数函数：
∫e^x dx = e^x + C
∫a^x dx = a^x/lna + C（a>0,a≠1）

二、定积分性质与计算公式

1. 线性性质：
∫[a,b](αf(x)+βg(x))dx = α∫[a,b]f(x)dx + β∫[a,b]g(x)dx

2. 区间可加性：
∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx

3. 牛顿-莱布尼兹公式：
∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数

三、换元积分法公式

1. 第一类换元法（凑微分法）：
∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫f(u)du （令u=φ(x)）

2. 第二类换元法：
∫f(x)dx = ∫f(φ(t))φ'(t)dt （令x=φ(t)）
常用三角代换：
√(a²-x²) → x=asinθ
√(a²+x²) → x=atanθ
√(x²-a²) → x=asecθ

四、分部积分法公式

∫u dv = uv - ∫v du
选择u的顺序建议：反三角函数＞对数函数＞幂函数＞指数函数＞三角函数（口诀："反了对幂指三"）

五、三角函数积分公式

1. 基本积分：
∫sinx dx = -cosx + C
∫cosx dx = sinx + C
∫tanx dx = -ln|cosx| + C

2. 平方关系积分：
∫sin²x dx = x/2 - sin(2x)/4 + C
∫cos²x dx = x/2 + sin(2x)/4 + C

六、反三角函数积分公式

1. ∫arcsinx dx = xarcsinx + √(1-x²) + C
2. ∫arccosx dx = xarccosx - √(1-x²) + C
3. ∫arctanx dx = xarctanx - ½ln(1+x²) + C

七、指数对数函数积分公式

1. ∫lnx dx = xlnx - x + C
2. ∫(lnx)^n dx = x(lnx)^n - n∫(lnx)^(n-1)dx （递推公式）
3. ∫x^n·lnx dx = x^(n+1)[lnx/(n+1)-1/(n+1)²] + C（n≠-1）

八、常见积分技巧总结

万能代换法：对于R(sinx,cosx)型积分，可用t=tan(x/2)统一转化
有理函数积分：先进行多项式除法，再部分分式分解
奇偶函数简化：
- 奇函数在对称区间积分值为0
- 偶函数在对称区间积分可折半计算
周期函数积分：∫[a,a+T]f(x)dx = ∫[0,T]f(x)dx

应用实例与常见误区

例题1：计算∫x·e^x dx
解：使用分部积分，设u=x, dv=e^x dx → du=dx, v=e^x
原式= xe^x - ∫e^x dx = xe^x - e^x + C

易错点提示：
1. 忽略积分常数C
2. 换元后忘记回代
3. 分部积分时u/v选择不当导致计算复杂化
4. 定积分计算时未考虑函数奇偶性