求解xln(1+x)的积分有哪些关键步骤通过分部积分法可将∫xln(1+x)dx转化为标准多项式积分问题。我们这篇文章将详细演示从函数拆解到最终结果的完整推导过程，并重点分析积分过程中容易出现的计算陷阱。核心解法思路面对xln(1+x)这

求解xln(1+x)的积分有哪些关键步骤

通过分部积分法可将∫xln(1+x)dx转化为标准多项式积分问题。我们这篇文章将详细演示从函数拆解到最终结果的完整推导过程，并重点分析积分过程中容易出现的计算陷阱。

核心解法思路

面对xln(1+x)这类复合函数的积分问题，分部积分法(Integration by Parts)是最有效的工具。根据公式∫udv = uv - ∫vdu，我们选择：

• 设u = ln(1+x)，则du = 1/(1+x)dx
• 设dv = xdx，则v = x²/2

这种设定能巧妙地将对数函数转化为更易处理的有理分式。

详细推导过程

第一次分部积分

代入分部积分公式得到： ∫xln(1+x)dx = x²/2·ln(1+x) - ∫(x²/2)·1/(1+x)dx 此时剩余积分项变为∫x²/(2(1+x))dx，需进一步处理分母中的多项式。

多项式长除法处理

对x²/(1+x)执行多项式除法： x² = (x² - x) + x = x(x-1) + x → 最终得x - 1 + 1/(1+x) 我们可以得出结论积分项可拆分为： ∫[x/2 - 1/2 + 1/(2(1+x))]dx = x²/4 - x/2 + ln(1+x)/2

最终结果验证

组合所有部分并简化： 原积分 = x²ln(1+x)/2 - x²/4 + x/2 - ln(1+x)/2 + C = (x²-1)/2·ln(1+x) - x²/4 + x/2 + C 通过求导验证可确认该结果的正确性。

常见计算误区

1. 错误选择分部积分的u/v：若将x设为u会导致循环推导 2. 忽略多项式除法步骤：直接积分会产生错误 3. 常数项处理不当：特别注意1/(1+x)项的积分

Q&A常见问题

为什么不能直接使用换元法

由于被积函数包含x和ln(1+x)的乘积，单纯令t=1+x会导致dx与dt的转换无法消除所有x变量，反而使表达式更复杂。

是否存在更简洁的解法

虽然可以通过组合积分法求解，但计算步骤反而会增加。分部积分配合多项式除法在本例中是最优路径。

该结果能否推广到其他类似函数

此方法可推广到∫xⁿln(1+x)dx形式，但随着n增大需多次应用分部积分，形成递推公式。